Лента Мебиуса: что это такое и как она используется в реальной жизни

Лента Мебиуса — что это такое простыми словами? Дадим сразу подсказку: еще ее называют петлей Мебиуса. А теперь давайте представим эту петлю: у нее есть только одна поверхность и один край, движение по которому никогда не прервется. Так и выглядит наш объект. Объясняя научным языком, лента Мебиуса — это двухмерная фигура в трехмерном пространстве с неориентируемой односторонней поверхностью.

Сделать ленту Мебиуса можно за пару минут из обычной полоски бумаги. Для этого нужно взять полоску, развернуть один из ее краев на 180 градусов так, чтобы нижняя часть полоски стала верхней. Затем необходимо склеить оба края. Получится замкнутая фигура, называемая лентой Мебиуса.

Как только мы смотрим на ленту Мебиуса, становится ясно, что привычные свойства фигур ломаются:

То есть это кольцо — лента Мебиуса — наглядно показывает, что геометрические объекты могут вести себя «не так, как кажется» и быть связными, неразрывными и ограниченными. Это классический пример неориентируемой поверхности в топологии.

Эта фигура получила название от фамилии немецкого астронома и математика Августа Фердинанда Мебиуса, который впервые описал площадь ленты Мебиуса в литературе в 1865 году.

Существует легенда, согласно которой одна из его служанок неправильно сшила тканевую ленту. Увидев получившийся результат, Август Фердинанд не разозлился, а, наоборот, почувствовал прилив вдохновения. Он воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Однако свойства ленты Мебиуса он опубликовать не смог — Парижская академия наук заинтересовалась открытием только после смерти математика.

Одновременно с Мебиусом особенности такой фигуры открыл и Иоганн Бенедикт Листинг. Что интересно, и Мебиус, и Листинг были учениками великого математика Карла Фридриха Гаусса. Однако, судя по историческим находкам, все они были не первыми, кто «додумался» до такой ленты.

В Мюнхенской глиптотеке есть римская мозаика, которая датируется III веком нашей эры. На ней изображен бог Эон внутри небесной сферы, свернутой в виде ленты Мебиуса. Поэтому, хотя эта фигура и носит имя немецкого математика, считать его изобретателем этой структуры нельзя.

У ленты Мебиуса есть ряд особенностей — именно они завораживают всех, кто посмотрит на этот объект. Может даже показаться, что лента нарушает законы математики... Спешим уверить: это неправда!

Лента Мебиуса обладает множеством разных свойств, но есть одно, которое выделяет эту фигуру среди других. Представим, что мы встали на такую ленту и пошли по ней в любом направлении. Когда мы пройдем полный круг, то окажемся в той же точке ленты, но на обратной ее стороне. Если двигаться дальше и пройти второй круг, то мы придем в изначальную точку. Это свойство называется односторонностью поверхности.

Нельзя выбрать «внешнюю» сторону и последовательно определить ее по всей поверхности. Где-то ориентация изменится, и возникнет ощущение, что лента «повернулась» другим боком. При этом движение по ленте Мебиуса никогда не будет прерываться, поскольку это единый объект. Как это проверить в домашних условиях? Поставьте несколько точек в любом месте. А теперь соедините их, не пересекая края ленты.

За этим понятием скрывается довольно простое свойство ленты Мебиуса. Начнем с того, что ориентированность — это возможность задать направления (то есть векторы) таким образом, чтобы эти направления «склеивались» в привычную фигуру и были «согласованы». Что-то вроде «изнаночной» и «лицевой» стороны.

У ленты Мебиуса нет согласованных векторов: если двигаться по поверхности и тащить вектор «наружу», после обхода полного круга вектор окажется направлен «внутрь».

Из предыдущей особенности получается, что разделить ленту на две части нельзя — в итоге получится лишь одна длинная. Именно это свойство используется в известном фокусе «афганские ленты» (The Afghan Bands). Если разрезать получившийся результат, то мы все же получим две ленты: одну — короткую ленту Мебиуса, а вторую — длинную ленту с двумя полуоборотами.

Одна ли такая необычная фигура — эта лента Мебиуса? Виды действительно есть! Похожей фигурой является бутылка Клейна. Это бутылка с отверстием на дне. При этом длинное горлышко загнули внутрь одной из стенок. Бутылку Клейна можно сделать и в домашних условиях — достаточно склеить две ленты Мебиуса по краю.

Лента Мебиуса часто вдохновляет архитекторов, дизайнеров и художников. Форма этого объекта напоминает знак бесконечности, и именно за счет своего символизма становится центральным сюжетом барельефов или гравюр. Так, Мауриц Корнелис Эшер экспериментировал с пространством в своих литографиях «Лента Мебиуса I» и «Лента Мебиуса II».

Встретить эту фигуру можно и на зданиях в Москве! Лента Мебиуса выполнена на стене Центрального экономико-математического института (ЦЭМИ) — увидеть ее можно прямо над главным входом. Авторами композиции стали Владимир Васильцов и Элеонора Жаренова.

Лента Мебиуса также является символом парадоксов и единства противоположностей. Об этом рассуждают писатели Хорхе Луис Борхес, Курт Воннегут и другие. Франк Тилье даже написал книгу «Лента Мебиуса», в которой показал темную сторону работы следователя.

На первый взгляд кажется, что лента Мебиуса, как и многие математические структуры, бесполезна в реальном мире. Однако эта фигура прочно вошла в нашу жизнь, хотя заметить ее совсем непросто. Например, в виде ленты Мебиуса делают конвейеры. Их плюс в том, что вся полоса изнашивается равномерно. Также в виде этой фигуры делают красящие ленты в матричных принтерах, что позволяет увеличить их ресурс работы. Наиболее знаменитое воплощение ленты Мебиуса в реальной жизни — это символ переработки (ресайклинга).