За последние несколько десятилетий математики узнали много обо всех возможных трехмерных пространствах. Хотя у нас пока нет полного понимания трехмерного мира (а в двумерном случае такое понимание есть), мы знаем многое. С этими знаниями физики и астрономы могут попытаться определить, в каком трехмерном пространстве на самом деле живут люди. Точного ответа нет, но есть сравнительно небольшое количество реалистических гипотез.
Какова топология нашей Вселенной
Когда мы смотрим на Вселенную, в которой живем, она выглядит как трехмерный «ящик», точно так же, как поверхность Земли выглядит как двумерная плоскость. Но мы знаем, что Земля не плоская. Если мы посмотрим на Вселенную в целом, она тоже, вероятно, на ящик не похожа. Она возможно больше похожа на трехмерную поверхность сферы, а может быть и что-то более сложное.
Unsplash
Математическая наука — топология — более века назад описала все возможные типы двумерных пространств (плоскости, сферы, «бублики», листы Мебиуса и т.д.) и многие их свойства. В нашей Вселенной больше двух измерений, и как она устроена топологически пока непонятно. Но есть несколько гипотез.
Чтобы увидеть, как это может работать, обратите внимание, что для описания местоположения чего-либо в пространстве — например, кометы — вам нужно четыре числа: три для описания ее положения и одно для описания времени, в течение которого она находится в этом положении. Эти четыре числа составляют 4D-пространство.
Теперь можно рассмотреть, какие 4D-пространства возможны и в каком из этих пространств мы живем.
Топология высоких измерений
На этой картинке Вселенная показана как пространство 2D — время и одномерная окружность. В этом случае предполагается, что кривизна Вселенной положительна.
Может показаться, что нет причин рассматривать пространства, имеющие измерения больше четырех, поскольку это самое высокое вообразимое измерение, которое может описывать нашу вселенную. Но раздел физики, называемый теорией струн, предполагает, что во Вселенной гораздо больше измерений, чем четыре.
Существуют также практические приложения для размышлений о многомерных пространствах, такие как планирование движения робота. Предположим, вы пытаетесь понять движение трех роботов, перемещающихся по заводскому цеху на складе. Вы можете положить сетку на пол и описать положение каждого робота с помощью их координат x и y на сетке. Поскольку каждому из трех роботов требуются две координаты, вам понадобится шесть чисел, чтобы описать все возможные положения роботов. Вы можете интерпретировать возможные положения роботов как 6-мерное пространство.
По мере увеличения количества роботов увеличивается размерность пространства. Учет другой полезной информации, такой как расположение препятствий, делает пространство еще более сложным. Чтобы изучить эту проблему, вам нужно изучить многомерные пространства.
Солнечную систему (без Плутона) можно описать как 54-мерное фазовое пространство (для каждой планеты нужно 6 измерений — три координаты положения и три координаты импульса, отсюда и получается 54 измерения — 6 х (8 + 1).
Существует бесчисленное множество других научных проблем, в которых появляются многомерные пространства, от моделирования движения планет и космических кораблей до попыток понять «форму» больших наборов данных.
Топологическая форма вселенной
Крупномасштабная структура Вселенной, как она выглядит в инфракрасных лучах с длиной волны 2,2 мкм (микроволновой фон). Измерение микроволнового фона является главным инструментом анализа топологии Вселенной.
Топология — сложный предмет, и есть еще бесчисленное множество захватывающих вопросов о пространствах, на которые нужно ответить.
Например, гипотеза Пуанкаре о гладком 4D спрашивает, что такое «простейшее» замкнутое 4D-пространство, а гипотеза о срезанной ленте направлена на понимание того, как узлы в 3D-пространствах соотносятся с поверхностями в 4D-пространствах.
Если вернуться к вопросу о форме возможных вселенных, то здесь пока многое непонятно. Согласно существующим измерениям наша Вселенная в больших масштабах очень близка к форме 4D-ящика. Ее искривление на сегодня почти неуловимо. Оно настолько мало, что становится заметным только на размерах больших, чем наблюдаемая Вселенная. Но мы можем, увеличивая чувствительность наших измерений, «почувствовать» ее локальную кривизну. Пока остается много топологических возможностей.
Геометрия Римана; Евклидова геометрия; геометрия Лобачевского.
Вселенная может иметь форму 4D-сферы с постоянной положительной кривизной. Может иметь отрицательную кривизну и гиперболическую геометрию, разработанную Николаем Лобачевским. При такой геометрии сумма углов в большом треугольнике будет меньше 180 градусов. Лобачевский постарался доказать, что именно такую геометрию имеет наша Вселенная, измеряя углы треугольника между крайними точками земной орбиты и Сириусом. Никакого отличия в этом треугольнике от 180 градусов великий геометр не заметил. Теперь мы знаем, что и не мог заметить — слишком маленький треугольник он взял.
Но Вселенная может иметь и более сложную топологию. Например, она может иметь форму 4D-тора (или бублика). И гипотеза о таком бублике имеет топологическое основание.
Топология замечательна тем, что она сводит бесконечное количество произвольных предположений, если не к единственному варианту, но к сравнительно небольшому набору возможностей. Топология позволяет описать свойства этих разных вселенных и предложить эксперименты и наблюдения, которые помогают физикам и астрономам сделать правильное заключение о форме Вселенной, в которой мы живем.