Математик из Университета Нового Южного Уэльса Норман Вилдбергер и независимый исследователь Дин Рубин нашли первый общий метод решения полиномиальных уравнений. Они описали свой подход в журнале The American Mathematical Monthly.
Математики создали новый способ решения уравнений, опираясь на идею, которой 300 лет
Математик из Университета Нового Южного Уэльса Норман Вилдбергер и независимый исследователь Дин Рубин нашли первый общий метод решения полиномиальных уравнений.
Unsplash
Полиномиальные уравнения очень важны для современной науки, обеспечивая математическую основу для небесной механики, компьютерной графики, прогнозирования роста рынка и многого другого. Хотя большинство старшеклассников знают, как решать простые квадратные уравнения (а это полиномы 2-й степени) общие решения полиномов высших степеней найти трудно.
Полиномиальные уравнения — это тип алгебраического уравнения, в котором переменные возводятся в степень, выражаемую натуральным числом. Например, x² + 5x + 6 = 0. Полиномы — одно из самых древних математических понятий, восходящее к Древнему Египту и Вавилону.
Математики давно знают, как решать простые полиномы. Но полиномы высших порядков, в которых переменная x возводится в степень,большую четырех, оказались очень трудно решаемыми. Для решения полиномов 2, 3 или 4 порядка используется подход, основанный на так называемых радикалах. Но как было доказано еще в XIX веке уравнения 5 и более высоких степеней в общем виде в радикалах неразрешимы, то есть нет общей формулы, которая по значениям коэффициентов давала значение корней, аналогичной формуле корней квадратного уравнения.
График полинома степени 5 с 3 вещественными корнями.
Числа Каталана
В новом методе ученые отказались от поиска корней с помощью радикалов. Вместо этого они использовали расширения полиномов, известные как степенные ряды. Это бесконечные суммы, состоящие из членов со степенями x.
В основу своего подхода математики положили числа Каталана. n-е число Каталана можно определить, как количество способов разбить правильный многоугольник с n+2 сторонами на треугольники. Первое число Каталана — 1. Треугольник уже разбит на треугольники и такой способ всего один. Но и второе число Каталан тоже 1. Квадрат можно разбить на треугольники только одним способом. А вот третье число Каталана — 2, это число разных разбиений правильного пятиугольника. И т.д.
Леонард Эйлер. Гравюра В. П. Соколова (1766), вероятно по рисунку 1737 г.
Эта последовательность была впервые описана Леонардом Эйлером в 1751 году. Но эти числа были подробно исследованы Эженом Каталаном уже в XIX веке. Теперь математики показали, что для решения полиномиальных уравнений высших порядков можно обратиться к числам Каталана. Они назвали это расширение «геодом».
Авторы пишут: «Вместо того, чтобы искать новое решение для каждой степени, почему бы не написать одну формулу, которая разрешает все степени?». И они такую формулу написали, правда, она оказалась бесконечной. Но математики считают, что их подход найдет много применений, особенно в компьютерных науках и компьютерной графике.