Правда ли, что Лев XIV стал первым математиком на Папском престоле

Исторически большинство пап имели образование в области богословия, философии, права или гуманитарных наук, но не в математике. Таким образом, Лев XIV действительно стал первым папой с академической степенью по математике. Можно с уверенностью сказать, что среди дисциплин, которые изучал в университете будущий Папа была и теория множеств Георга Кантора, в которой великий математик исследует бесконечность. И возможно, это повлияло на мировоззрение Льва XIV.

Люди — существа конечные. Наш мозг состоит из ограниченного количества нейронов, и за свою короткую жизнь мы общаемся с ограниченным количеством людей. Тем не менее люди обладают удивительной способностью представлять себе бесконечное.

Эта способность лежит в основе доказательства существования бесконечного числа простых чисел, которое дал еще Евклид. Способность представлять бесконечность лежит в основе веры миллиардов людей в то, что их боги — это бесконечные существа, свободные от такого фатального ограничения, как смерть.

Эти идеи хорошо известны Папе Льву XIV, поскольку до своей жизни в церкви он учился на математика. Вероятно, траектория развития Льва не случайна, поскольку существует связь между математикой и теологией.

Бесконечность, несомненно, имеет центральное значение для обоих предметов. Практически все математические объекты, такие как числа или геометрические фигуры, образуют бесконечные коллекции. А богословы часто описывают Бога как уникальное, абсолютно бесконечное существо.

Несмотря на использование одного и того же слова, между представлениями математиков и теологов о бесконечности традиционно существует огромный разрыв. С глубокой древности и до XIX века математики считали, что существует бесконечно много чисел, но — в отличие от теологов — решительно отвергали идею абсолютного бесконечного.

Идея примерно такова: конечно, существует бесконечно много чисел, поскольку мы всегда можем продолжать считать. Но каждое число само по себе конечное — бесконечных чисел не существует. Математики с подозрением относились к совокупности всех чисел как самостоятельному замкнутому объекту. Ведь существование такой совокупности приводит к логическим парадоксам.

Самый простой пример представляет собой версию парадокса Галилея и приводит к кажущимся противоречивым утверждениям о натуральных числах 1,2,3.....

Во-первых, обратите внимание, что некоторые числа четные, а другие — нет. Следовательно, всех чисел — четных и нечетных — должно быть больше, чем просто четных чисел 2,4,6..... И все же для каждого числа существует ровно одно четное число. Чтобы убедиться в этом, просто умножьте любое данное число на 2. У вас получится взаимнооднозначное соответствие («один-к-одному»), которое можно записать как n — 2n.

Но значит всех чисел не может быть больше, чем четных. Таким образом, мы приходим к противоречию, что всех чисел больше, чем четных, и в то же время всех чисел не больше, чем четных.

Из-за подобных парадоксов математики на протяжении тысячелетий отвергали реальную (или актуальную) бесконечность. В результате математика стала заниматься гораздо более скромным понятием бесконечности, чем абсолютное, используемое теологами. Такую бесконечность математики называют не актуальной, а потенциальной. Ситуация кардинально изменилась после того, как во второй половине XIX века математик Георг Кантор ввел теорию трансфинитных множеств.

Радикальная идея Кантора заключалась в том, чтобы математически строгим способом ввести абсолютную бесконечность в сферу математики. Это нововведение произвело революцию во всей математике, создав мощную и объединяющую теорию бесконечного. Она получила название теория множеств. Сегодня теория множеств является фундаментом математики, на котором строятся все (почти) математические дисциплины.

Согласно теории Кантора, два множества — A и B — имеют одинаковую мощность, если их элементы находятся в соответствии один-к-одному. Это означает, что каждый элемент A может быть связан с единственным элементом B, и наоборот.

Мы можем уверенно заявить, что в моногамном гетеросексуальном обществе количество мужей всегда равно количеству жен. И нам не надо для этого пересчитывать и расспрашивать все вообще женатые пары. Причина в том, что отношение брака — это отношение «один-к-одному». Для каждого мужа существует единственная жена, и наоборот, для каждой жены существует единственный муж.

Используя ту же идею, мы можем уверенно сказать, что согласно теории Кантора множество всех чисел (четных и нечетных) имеет тот же размер, что и множество четных чисел. А множество натуральных чисел равномощно и множеству целых чисел, включающему отрицательные числа, и множеству рациональных чисел, которые можно записать в виде дробей. Хотя для рациональных чисел построить отношение «один-к-одному» с множеством натуральных чисел несколько сложнее

Самая поразительная особенность теории Кантора заключается в том, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. В частности, Кантор показал, что множество действительных чисел, которые можно записать в виде бесконечных десятичных дробей, строго больше, чем множество натуральных чисел.

Но множество действительных чисел не самое большое. Кантор предложил процедуру, с помощью которой всегда можно построить из любого множества другое множество, чья мощность будет больше. Строится это более мощное множество очень просто: надо просто взять множество, которое состоит из всех подмножеств данного множества. И оказывается, что это множество подмножеств будет больше по мощности. Чтобы измерять размер (или мощность) бесконечных множеств, Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.

Постоянно увеличивающийся ряд трансфинитных чисел Кантор обозначил Алеф, первой буквой еврейского алфавита, мистическую природу которой исследовали философы, теологи и поэты.

Для Кантора, набожного христианина-лютеранина, мотивация и обоснование его теории абсолютных бесконечностей были непосредственно вдохновлены религией. Он был убежден, что трансфинитные числа были посланы ему Богом. Более того, Кантор был глубоко обеспокоен последствиями своей теории для католической теологии.

Папа Лев XIII, современник Кантора, призывал богословов взаимодействовать с современной наукой, чтобы показать, что выводы науки совместимы с религиозной доктриной. В своей обширной переписке с католическими теологами Кантор приложил немало усилий, чтобы доказать, что его теория не оспаривает статус Бога как уникального актуального бесконечного существа.

Напротив, он понимал свои трансфинитные числа как увеличение масштабов Божественной природы, как «путь к трону Бога». Кантор даже направил письмо и несколько заметок на эту тему самому Льву XIII.

Для Кантора абсолютные бесконечности лежат на пересечении математики и теологии. Поразительно, что одна из самых фундаментальных революций в истории математики — введение бесконечностей — была так глубоко связана с религиозными проблемами.

Папа Лев XIV недвусмысленно заявлял, что Лев XIII был его вдохновителем при выборе понтификального имени. Возможно, среди множества возможных причин такого выбора, эта математическая связь тоже была.