Математика и физика всегда развивались в тесном взаимодействии. Математика предоставляет язык для описания физических явлений, а физика стимулирует создание новых математических идей. Это взаимодействие особенно важно в квантовой теории поля и космологии, где сложные математические структуры развиваются вместе с физическими теориями.
Математики с помощью новой геометрии описали всю Вселенную от частиц до Большого взрыва
Математики Клаудия Февола из Французского института Inria Saclay и Анна-Лаура Заттельбергер из Института математики Макса Планка разработали подход, который использует одни и те же математические концепции для описания поведения элементарных частиц и структуры всей Вселенной.
Иллюстрация фона космического излучения на различных красных смещениях во Вселенной. Космический микроволновый фон (CMB) — это не просто поверхность, исходящая из одной точки, а скорее бассейн излучения, который существует везде и сразу. NASA/BlueEarth; ESO/S. Брунье; МДБ: NASA/WMAP
Как утверждают математики в своей работе, им удалось обобщить один из главных инструментов современной физики — диаграммы Фейнмана. Диаграммы Фейнмана — это графические схемы, которые показывают взаимодействие элементарных частиц. Линии изображают частицы, а точки их пересечения — моменты взаимодействия. Эти диаграммы помогают физикам вычислять вероятности различных процессов в квантовой механике, например, столкновений частиц в ускорителях.
Новое исследование, опубликованное в журнале Notices of the American Mathematical Society сосредоточено на алгебраической геометрии и связано с новой областью под названием позитивная геометрия. Эта междисциплинарная область возникла благодаря идеям из физики частиц и космологии. Концепция была вдохновлена геометрическим подходом, который расширяет стандартные диаграммы Фейнмана.
На этой диаграмме Фейнмана электрон (e-) и позитрон (e+) аннигилируют, производя фотон (γ, представленный синей синусоидой), который превращается в кварк-антикварковую пару (кварк q, антикварк q̄), после чего антикварк излучает глюон (g, представленный зеленой спиралью).
Новая геометрия представляет взаимодействия как объемы многомерных геометрических объектов, таких как амплитуэдр, введенный физиками-теоретиками Нимой Аркани-Хамедом и Ярославом Трнкой в 2013 году.
Амплитуэдр
Позитивная геометрия Вселенной
Этот подход имеет далеко идущие последствия, выходящие за рамки физики частиц. В космологии ученые используют слабый свет космического микроволнового фона и распределение галактик, чтобы понять, что формировало раннюю Вселенную. Космологические политопы (многомерные многогранники), которые сами являются позитивными геометриями, могут представлять корреляции в первом свете Вселенной.
«Позитивная геометрия все еще молодая область, но она имеет потенциал значительно повлиять на фундаментальные исследования как в физике, так и в математике», — подчеркивают авторы. — «Теперь научному сообществу предстоит проработать детали этих возникающих математических объектов и теорий».
Иллюстрация набора действительных нулей графового полинома (середина) и двух диаграмм Фейнмана (коллаж).
Математика, используя подход позитивной геометрии, может охватить множество дисциплин: алгебраическую геометрию, алгебраический анализ и комбинаторику. Формальные объекты, такие как интегралы Фейнмана или канонические формы позитивных геометрий, соответствуют наблюдаемым явлениям в физике высоких энергий и космологии.