В математике есть задачи, которые считаются «закрытыми» еще со времен Жозефа Лиувилля. В XIX веке он доказал: большинство дифференциальных уравнений, где коэффициенты меняются (зависят от координат или времени), невозможно решить в «символах», то есть через привычные нам школьные функции вроде синуса или логарифма.
Российский математик нашел ключ к уравнениям, которые не могли решить два века
Российский математик Иван Ремизов из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН представил метод, позволяющий находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Задача почти два века считавшаяся аналитически неразрешимой, получила элегантное решение через аппарат «формул Фейнмана». Новый алгоритм позволяет получать результат напрямую через коэффициенты уравнения, что открывает путь к точным расчетам, которые могут быть реализованы на современных компьютерах.
Российский математик предложил вычислительное решение аналитически неразрешимой задачи. http://www.khadley.com/
Между тем, именно такие уравнения описывают самую сложную и интересную физику:
- Квантовую механику: движение частицы в переменном силовом поле.
- Акустику и оптику: распространение волн в неоднородных средах (например, звука в толще океана, где плотность воды меняется с глубиной).
- Теорию упругости: расчет прочности конструкций из современных композитных материалов, свойства которых различаются в разных точках.
Долгое время ученым приходилось либо упрощать модель до потери адекватности, либо полагаться на приближенные вычисления, которые не всегда гарантировали точность.
Метод «микро-шагов» и наследие Фейнмана
Аппроксимация сложной кривой с помощью ломаной. Эту идею, но в более сложном пространстве использовал российский математик.
Идея, предложенная Иваном Ремизовым, изящно обходит старый запрет. Вместо того чтобы пытаться угадать формулу решения, математик предложил собирать его из бесконечного множества элементарных преобразований.
Этот подход опирается на так называемые аппроксимации Чернова. Суть в следующем: мы представляем сложное изменение системы как последовательность из n очень простых шагов. Каждый такой шаг (оператор) строится напрямую из коэффициентов самого уравнения. Когда количество этих шагов стремится к бесконечности, их совокупность превращается в так называемую «формулу Фейнмана» — конструкцию, которую физики называют интегралом по траекториям.
Главное достижение работы заключается в строгом доказательстве: если взять преобразование Лапласа от этих «шагов», мы получим точное решение уравнения. Автор не просто предложил формулу, но и снабдил ее «паспортом точности» — математическим доказательством того, как быстро наши вычисления приближаются к идеальному результату.
Идея интеграла Фейнмана по траекториям. Красная линия — это решение, полученное суммированием бесконечного множества кривых.
Алгоритм вместо интуиции
Работа Ремизова имеет глубокий смысл для современной науки. Она переводит решение сложнейших уравнений из разряда «искусства» в область строгих вычислений.
В эпоху суперкомпьютеров это критически важно. Предложенный метод позволяет превратить «нерешаемое» уравнение в последовательность простых вычислительных операций. Фактически, дифференциальное уравнение перестает быть «черным ящиком» — теперь мы можем «сложить» его решение, используя его собственные коэффициенты как детали конструктора. Работа Ремизова — это мостик между высокой абстракцией функционального анализа и практическими нуждами современной инженерии и физики.
Результаты работы опубликованы во «Владикавказском математическом журнале».