В московском регионе глагол «лазать» постепенно устаревает. Не исключено, что в скором времени более современное слово «лазить» его полностью вытеснит. Его употребление легче воспринимается на слух, а все словари единогласно признают лишь одну форму — лазить, при этом глагол «лазать» помечают как разговорную форму.
Вспомним школьные годы! Как же все-таки правильно: лазить или лазать, лазит или лазает, лазаю или лажу?

А теперь вспомните о верхолазах, скалолазах, водолазах. Все они образовались от глагола «лазать». Разве можно вывести эти слова из глагола «лазить»? Что за странных «верхолезов» и «водолезов» мы тогда получим? А попробуйте сказать про альпиниста, что он лазит по горам. Как ни крути, но «лазать» — это больше про «взбирание», зачастую, со специальным снаряжением, передвижение по труднодоступным местам с использованием всех конечностей.
Я лазаю по деревьям и нахожу это занятие забавным.
Поэтому и про животных будет уместнее сказать, что они лазают, а не лазят.
А лазить (в смысле шарить) можно, например, по карманам.
Он лазит по библиотекам, роется в учебниках, пытаясь собрать нужную информацию!
Или же передвигаться не по ровному месту, без применения специальных навыков, умения и снаряжения. В этом случае «лазить» можно заменить синонимами «болтаться», «бродить», «прогуливаться», «ползать», «переползать».
Мы с другом почти каждую ночь лазим по крышам.
В сущности, путаница с «лазить» и «лазать» порождена тем, что лазить обычному гражданину приходится гораздо чаще и больше, чем лазать.
Подытожим
Верны «лазить» и «лазать», «лажу» и «лазаю». И, несмотря на то, что строгие литературные нормы призывают говорить «лазить» и «лажу», я бы все же отталкивалась бы от контекста.
Ясно одно — нельзя говорить:
-  
Лазю
 -  
Лазию
 -  
Лазиет
 -  
Лазийте
 -  
Лазиешь
 -  
Лазиют
 
Все эти формы — ошибочны и лучше их не произносить.
Как правильно спрягать:
Лазить 
-  
Я лажу
 -  
Ты лазишь
 -  
Он лазит
 -  
Мы лазим
 -  
Вы лазите
 -  
Они лазят
 
Лазать
-  
Я лазаю
 -  
Ты лазаешь
 -  
Он лазает
 -  
Мы лазаем
 -  
Вы лазаете
 -  
Они лазают
 
Немало проблем доставляет и повелительное наклонение этих и родственных глаголов. Признайтесь, орали вы хоть раз своему ребенку, чтобы тот «немедленно слазил с дерева»? Так говорить, конечно, неправильно. Как и употреблять слова «лазий», «слазий», «залазий». Некоторые справочники утверждают, что у слова «лазить» повелительной формы вообще нет. Поэтому, чтобы точно не ошибиться, лучше сказать «слезай», или «залезай».
