Комплексные числа: что это такое и почему их обязательно нужно знать
Может показаться, что комплексные числа — это высокие материи, недоступные простому человеку. Но это не так.
Комплексные числа — отдельная и очень интересная область математики, которая в том числе позволяет нам понять, как работает окружающий мир. Давайте познакомимся с ними поближе.
Что такое комплексные числа?
Итак, вспомним основы: комплексные числа представляют собой комбинацию действительного и мнимого чисел. Действительные — это почти любые числа, которые вы можете представить, включая рациональные и иррациональные.
Мнимые числа — это числа, квадрат которых отрицателен. Обычно этого не происходит, потому что:
- когда мы возводим в квадрат положительное число, мы получаем положительный результат, и
- когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы также получаем положительный результат (потому что отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное), например, (-2) × (-2) = +4
Но просто представьте, что такие числа существуют. Как такое возможно — уже другой вопрос.
Когда мы объединяем действительное и мнимое число, то получаем комплексное число. В общем виде его можно записать как a+bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица (записывается как квадратный корень из -1 — ее квадрат будет равен -1).
Итак, комплексное число имеет действительную и мнимую части. Но любая часть может быть равна 0, поэтому все действительные и мнимые числа также являются комплексными числами. При сложении комплексных чисел мы просто складываем сначала их действительные, а затем мнимые части по отдельности. При умножении перемножаем части чисел друг с другом по очереди. Выглядит умножение комплексных чисел так: (a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bdi2 = (ac — bd) + (ad+cb)i. То есть, произведение комплексных чисел — это тоже комплексное число.
Комплексные числа применяются во многих приложениях — от электротехники до квантовой механики.