Математик разгадал тайну ленты Мёбиуса после долгих лет тщетных попыток
Первоначально этим вопросом задались математики Чарльз Уивер и Бенджамин Халперн в 1977 году. В своей статье Халперн и Уивер устанавливают ограничение для лент Мёбиуса, основанное на знакомой геометрии сложенных кусочков твердой бумаги: соотношение между длиной и шириной бумаги должно быть больше √3, или около 1,73.
Например, лента Мёбиуса длиной в один сантиметр должна быть шире, чем √3 или 1,73 сантиметра.
Шварц говорит, что он «подсел» на проблему ленты Мёбиуса после того, как узнал о ней четыре года назад во время разговора с коллегой. На протяжении многих лет он предпринял несколько попыток решить эту проблему и в 2021 году опубликовал статью с многообещающим подходом, который в конечном итоге потерпел неудачу.
Шварц не мог оставить эту проблему в покое и недавно начал экспериментировать со сжатием бумажных лент Мёбиуса в надежде, что двумерную форму будет легче решить математически. Но когда он разрезал одну из этих петель под углом (что было необходимо для решения его задачи оптимизации), он увидел то, чего не ожидал.
Длина двухмерного листа бумаги не была похожа на параллелограмм, как он сообщал в своей первой статье. Скорее, это была трапеция – форма с четырьмя прямыми сторонами, из которых только две стороны параллельны друг другу. «Недавно я обнаружил, что допустил ошибку при постановке задачи оптимизации», — пишет Шварц.
За три бессонные ночи – при некоторой помощи нескольких коллег – Шварц исправил свою ошибку и нашел «действительно хорошее доказательство» промежуточного шага, «которое значительно упростило» статью.
«Я был поражен и обрадован, обнаружив, что, когда я правильно решил задачу оптимизации, я получил... √3 прямо на носу!», — написал он.
Загадка Мёбиуса
Ленты Мёбиуса обладают множеством странных свойств, что сделало их объектом восхищения математиков (и не только) с 1858 года — тогда эти фигуры впервые описали немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг.
Ленты Мёбиуса неориентируемы. Это означает, что муравей, блуждающий по такой ленте, никогда не оказывается «внутри» или «снаружи», «верху» или «низу» фигуры. Во время своего путешествия муравьи одним непрерывным движением охватывают обе стороны ленты.
Возможность использовать обе стороны поверхности без необходимости переворачивать ленту сделала ленты Мёбиуса полезными для магнитофонов, пишущих машинок, конвейерных лент, картриджей для печати и американских горок.
Ленты Мёбиуса используются в ювелирных изделиях, международном символе переработки и в логотипе Google Диска, поскольку они представляют собой бесконечные петли. А новая статья математика доступна в виде препринта через arXiv.