Что такое «Пифагоровы штаны» и как египтяне строили пирамиды: 6 вопросов о геометрии, которые мучили вас со школы

Например, для создания прямых углов, египтяне использовали обычную веревку с 12 узлами, расположенными на равном расстоянии друг от друга. С помощью этой веревки можно было легко создавать треугольник с соотношением сторон 3:4:5 — он всегда образует прямой угол. Так египтяне использовали геометрические знания задолго до появления формальной математики, чтобы строить свои величественные пирамиды.

Другой впечатляющий пример использования геометрии в далекой древности принадлежит греческому ученому Эратосфену Киренскому. В III веке до нашей эры он сумел определить окружность Земли с удивительной для того времени точностью.

Эратосфен заметил, что в день летнего солнцестояния в городе Сиена (нынешний Асуан, Египет) солнце находилось прямо над головой и его лучи падали вертикально, не отбрасывая тени. В то же время в Александрии, расположенной к северу от Сиены, солнечные лучи создавали тень, образуя угол с земной поверхностью.

Эратосфен измерил этот угол и обнаружил, что он составляет приблизительно 7,2 градуса. Зная расстояние между Сиеной и Александрией (около 800 километров) и угол падения солнечных лучей в Александрии, Эратосфен предположил, что это расстояние составляет 1/50 окружности Земли. Умножив 800 километров на 50, он получил приблизительное значение окружности Земли — 40 000 км.

Во времена Великой Отечественной войны один урок из геометрии спасал солдатам жизни — они использовали подобные треугольники для определения расстояний до объекта на поле боя.

Солдат вытягивал руку с поднятым вверх большим пальцем и прицеливался взглядом на объект таким образом, чтобы частично или полностью заслонить его. Например, длина пальца 7 см, а длина вытянутой руки — 70 см. Если провести воображаемую линию от кончика пальца к плечу, получится прямоугольный треугольник, в котором катеты отличаются в 10 раз.

Если объект, например, столб, который солдат заслоняет пальцем, высотой 10 метров, то по правилу подобия треугольников катеты в нем также будут отличаться в 10 раз. Соответственно расстояние от солдата до столба — 100 метров. Таким образом геометрия помогала определять расстояние до противника. Конечно, на войне для определения расстояния в большинстве случаев использовали специальные приборы, но работали они по тому же принципу.

Выражение «Пифагоровы штаны» связано с известной теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это выражение часто звучит в виде стихотворной строки: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Термин «штаны» используется для описания образа, который возникает, когда мы рисуем квадраты на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника. В перевернутом виде эти квадраты напоминают брюки, штанины которых «расползаются» в стороны. Это выражение стало наглядной иллюстрацией для понимания одной из основополагающих теорем геометрии.

Золотое сечение, также известное как «золотое отношение» или «божественная пропорция», обозначается греческой буквой φ (фи). Это отношение составляет приблизительно 1.618. Еще в Древней Греции математики, такие как Пифагор и Евклид, исследовали геометрические свойства золотого сечения. Они описывали это отношение как разделение отрезка на две части таким образом, что отношение всей длины к большей части равно отношению большей части к меньшей.

Многие древние строения, включая Парфенон в Афинах, построены с учетом золотого сечения. Греки, хотя и не имели современного понимания математики, интуитивно использовали это соотношение для создания визуально приятных и гармоничных сооружений. Деятели искусства и архитекторы до сих пор, выстраивая композицию в своих работах, придерживаются пропорций, близких к золотому сечению — 3/8 и 5/8.