Что такое алгебра и почему она имеет такое большое значение для всех наук

Распространено мнение, что такие задачи придуманы, чтобы мучить студентов, и это может быть недалеко от истины. Эта задача почти наверняка была написана, чтобы помочь учащимся понять математику, но что особенного в ней, так это то, что ей почти 4000 лет! Согласно Жаку Сезиано в «Введении в историю алгебры» , эта задача основана на вавилонской глиняной табличке около 1800 г. до н.э. Поскольку алгебра уходит своими корнями в древнюю Месопотамию, она занимает центральное место во многих достижениях науки, техники и цивилизации в целом. Язык алгебры значительно менялся на протяжении истории всех цивилизаций, унаследовавших его (включая нашу собственную).

Сегодня запишем задачу так:

х + у = 1800

⅔∙х – ½∙у = 500

Буквы x и y обозначают площади полей. Первое уравнение понимается просто как «сложение двух площадей даёт общую площадь 1800 квадратных ярдов». Второе уравнение более тонкое. Поскольку x — это площадь первого поля, а урожайность первого поля составляла две трети галлона на квадратный ярд, «⅔∙x» — что означает «две трети, умноженные на x», — представляет собой общее количество произведенного зерна. по первому полю. Точно так же «½∙y» представляет собой общее количество зерна, произведенного вторым полем. Поскольку первое поле дало на 500 галлонов зерна больше, чем второе, разница (следовательно, вычитание) между зерном первого поля (⅔∙x) и зерном второго поля (½∙y) составляет (=) 500 галлонов.

Конечно, сила алгебры не в кодировании утверждений о физическом мире. Учёный-компьютерщик и писатель Марк Джейсон Доминус пишет в своем блоге The Universe of Discourse: «На первом этапе вы переводите проблему в алгебру, а затем на втором этапе вы манипулируете символами почти механически, пока ответ не выскочит, как будто с помощью магии».

Здесь мы решим эту проблему, используя методы, которым их учат сегодня. И в качестве отказа от ответственности, читателю не нужно понимать каждый конкретный шаг, чтобы понять важность этой общей техники. Мы намерены сделать так, чтобы историческая значимость и тот факт, что мы можем решить проблему без каких-либо догадок, вдохновили неопытных читателей узнать об этих шагах более подробно. Вот снова первое уравнение:

х + у = 1800

Мы решаем это уравнение относительно y, вычитая x из каждой части уравнения:

у = 1800 – х

Теперь составим второе уравнение:

⅔∙х – ½∙у = 500

Поскольку мы нашли, что «1800 – x» равно y, его можно подставить во второе уравнение:

⅔∙х – ½∙(1800 – х) = 500

Затем распределите отрицательную половину (–½) по выражению «1800 – x»:

⅔∙x + (–½∙1800) + (–½∙–x) = 500

Это упрощаем:

⅔∙х – 900 + ½∙х = 500

Сложите две части x вместе и добавьте 900 к каждой части уравнения:

(7/6)∙х = 1400

Теперь разделите каждую часть уравнения на 7/6:

х = 1200

Таким образом, первое поле имеет площадь 1200 квадратных метров. Это значение можно подставить в первое уравнение для определения y:

1200 + у = 1800

Вычтите 1200 из каждой части уравнения, чтобы найти у:

у = 600

Таким образом, второе поле имеет площадь 600 квадратных ярдов.

Обратите внимание, как часто мы используем технику выполнения операции с каждой частью уравнения. Эту практику лучше всего понимать как визуализацию уравнения в виде весов с известным грузом на одной стороне и неизвестным грузом на другой. Если мы добавим или вычтем одинаковое количество грузов с каждой стороны, весы останутся сбалансированными. Точно так же весы остаются сбалансированными, если мы умножаем или делим грузы поровну.

Хотя метод сохранения баланса уравнений почти наверняка использовался всеми цивилизациями для развития алгебры, его использование для решения этой древней вавилонской задачи (как показано выше) является анахронизмом, поскольку этот метод был центральным в алгебре только последние 1200 лет.

Полностью символическая алгебра — как показано в начале статьи — оставалась такой до научной революции. Рене Декарт (1596-1650) использовал алгебру, которую мы узнали бы и сегодня, в его публикации 1637 года «Геометрия», где впервые применил практику построения графиков алгебраических уравнений. Согласно Леонарду Млодинову в «Окне Евклида», «геометрические методы Декарта были настолько важны для его понимания, что он писал, что "вся моя физика есть не что иное, как геометрия" ».