17.03.2023, 18:30

Трудная математическая задача, с которой могут справиться не все преподаватели: попытайтесь найти площадь треугольника

Все со школы помнят геометрию, кто-то как нечто хорошее, а кто-то как нечто плохое. На самом деле геометрия может быть увлекательной, главное знать формулы и как прийти к решению. Хотите попробовать свои силы? А узнать способ вычисления площади треугольника? Предлагаем решить очень простую, но по-своему остроумную геометрическую задачку. Ответ в статье.

Редакция сайта

Теги:

Нетленка

Исследование

Лайфхак

Лайфхаки

Детство

Трудная математическая задача, с которой могут справиться не все преподаватели: попытайтесь найти площадь треугольника

Соцсети

Вопрос: какая часть площади квадрата закрашена розовым?

Как найти площадь данного треугольника

Как вычислить площадь треугольника? Давайте разбираться. Площадь - это внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Каждая фигура в математике — то есть каждый квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция и т. д. - имеет определенную площадь или определенное количество пространства, которое она занимает. Она определяется длиной определенных сторон фигуры и всегда указывается в квадратных единицах, которые могут быть общими единицами измерения или такими вещами, как футы, дюймы, метры или мили. Теперь внимательно посмотрите на данный треугольник.

Найдите площадь треугольника — изображенного на картинке выше. Получается — для того чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать длину стороны в основании и длину опущенной на нее высоты. Площадь каждого прямоугольного треугольника составляет 1/2 площади квадрата. Длину высоты мы не знаем.

Найти ее нам поможет верхний, самый маленький треугольник. Нетрудно видеть, что он подобен розовому: у них одинаковые углы, соотношения длин соответствующих сторон — и высот.

Примем длину стороны квадрата за 1. Длина нижнего ребра розового треугольника, таким образом, равна 1. Кроме того, их высоты образуют один отрезок, длина которого равна длине стороны квадрата — 1. Длина основания розового треугольника равна 1/3 длины стороны квадрата, то есть просто 1/3.

Соотношение длин ребер подобных треугольников и соотношение длин их высот одинаково и в нашем случае равно 1/2, а значит, длина высоты розового треугольника равна 2/3. Не забываем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле. Поэтому нам осталось подставить эти значения в формулу площади треугольника: S=0,5*1*2/3=1/3 кв. ед. Площадь же квадрата равна 1 кв.ед, поэтому розовый треугольник составляет треть его площади.

MPashuk 03 Февраля 2022, 20:34

Кликбейтный заголовок насчёт академика, который затрудняется в решении этой задачи. доказываем подобие треугольников по 3 равным углам и всё, простейшая задача.

Igoo 31 Января 2022, 18:34

что это за академики такие? мне, безработному РФ ответ виден не вооруженным глазом --- 1/3 )))

Сергей Трунов 31 Января 2022, 15:54

Прежде чем предлагать подобное решение, нужно было хотя бы закончить 6 класс средней школы. Тогда бы не было этого бреда по поводу того, что основание треугольника равно 1/3 стороны квадрата… хотя возможно сегодня так и учат в российских школах… печально

Борис Богданов 31 Января 2022, 15:21

В школе решение задач на треугольники было моим коньком. Решал на раз.

Борис Богданов 31 Января 2022, 15:19

Результат получил при вычислении площадей всех треугольников в уме.

Makarios Markish 31 Января 2022, 14:26

Что-до до меня не доезжает насчет академиков... Впрочем, по нашему времени академик академику рознь. Ученик 8-го класса, не решивший такую задачу, получит жирную двойку.

Pojuella Pojuella 15 Декабря 2021, 12:56

Ужос ! . С каких пор у фигуры -- РЁБРА? "Длина основания розового треугольника равна 1/3 длины стороны квадрата, то есть просто 1/3." -- пьяные ёжики писали ?

Galina Ersh 09 Декабря 2021, 23:21

Две трети от половинки - треть получается.

Олег Рубанов 24 Апреля 2021, 20:56

Автор болен? "Длина основания розового треугольника равна 1/3" Ты что курил? Длина основания = 1.

Станислав Юрконис 23 Апреля 2021, 12:46

Устный счёт. 1/3.

Виктор Степанов 16 Апреля 2021, 10:46

На рисунке нет розового треугольника, есть фиолетовый.

Pojuella Pojuella 15 Декабря 2021, 12:58

Видеокарту поменяй, или -- монитор. Это розовый, ну сиреневый, но НЕ фиолетовый

Тамара null 02 Марта 2021, 13:07

Пусть a - сторона квадрата. Площадь квадрата - a^2. Треугольники подобны. с к=1/2. Высоты подобных треугольников пропорциональны 1:2, т.е. , высота розового треугольника равна 2\3*a., Площадь розового треугольника: 1/2* а*(2\3*a)=1\3 a^2.

Boris Saprn 24 Декабря 2020, 15:27

Как нашли длину основания 1/3?

Елена Попова 09 Декабря 2020, 20:28

Первый абзац мне постичь не дано. А задачка простенькая - на подобие и формулу площади.

Сергей Кудин 09 Декабря 2020, 10:48

Квадрат здесь совершенно ни при чем! Это верно для любого параллелограмма. Площадь этого треугольника будет равна трети площади параллелограмма.

Алексей Кислицын 08 Декабря 2020, 20:43

Кстати прикольно. Немного мутное решение.... но как говорится... )

Олег Майоров 24 Июня 2020, 16:00

1/3. Это частный случай задач : В квадрате ABCD на стороне BC лежит точка E . O -точка пересечения прямых AE и BD .Во сколько раз сторона квадрата больше BE , если площадь квадрата больше площади треугольника AOD в 13/5 раз ? Продолжение : Сторона квадрата больше BE в K раз . Во сколько раз (M )площадь квадрата больше треугольника AOD? Площадь квадрата больше площади AOD в M раз . Во сколько раз сторона квадрата больше BE ?

Олег Майоров 24 Июня 2020, 15:53

Очень просто :1/3 . Решите эту частную задачу , но в общем виде для квадрата . В квадрате ABCD на стороне BC лежит точка E . O -точка пересечения прямых AE и BD .Во сколько раз сторона квадрата больше BE , если площадь квадрата больше площади треугольника AOD в 13/5 раз ?

Иван Озеров 31 Июля 2018, 18:11

а если так: a/4=(a/2-x)+x/4 значит x=a/3 a/4-площадь тр-ка со сторонами 1 и 1/2-т.е. четверть площади квадрата x- искомая. x/4-верхний тр-к

Коля Костёлов 01 Июля 2018, 12:19

Это ж и на глаз видно.! Задачка для массового читателя. значит ответ должен быть не сложный: Не 0, 2757663, например. а что-то легкопредставляемое , вроде 0,5.., 0,4...,0,33...., 0,25... Путем простого перебора, на глаз, становится ясно, что ответ 0, 33.. и без ВСЯКИХ вычислений

Pojuella Pojuella 15 Декабря 2021, 13:01

Тебе никогда не попадались задачи, где ответ равен (единица, деленная на корень квадратный из трёх) ?

Александр Кривцов 13 Июня 2018, 01:39

Я провел медиану у вертикального треугольника слева. Верхняя половина равна маленькому треугольнику наверху, нижняя такая же по площади. Площадь отрезанного верхнего левого угла квадрата - 1/4, розовый треугольник дополняется до полуквадрата 2/3 отрезанного угла, то есть 1/4 * 2/3 = 1/6 площади квадрата. Вычтем дополнение 1/2 - 1/6 = 1/3

Pojuella Pojuella 15 Декабря 2021, 13:15

"Вертикальный треугольник" -- сильно !

Михаил Дмитриев 11 Июня 2018, 10:49

1/2-(2/3*1/4)=1/3

Андрей Фамилия 08 Июня 2018, 10:24

Про подобие хорошо,но основание маленького треугольника 1/2. Отсюда если провести линию параллельно основанию через точку соприкосновения треугольников -она сверху отсечет прямоугольник площадью 1/3 от квадрата. Остается прямогольнтк внизу площадью 2/3. Треугольник розовый пловина от него. Итак 2/3 пополам - 1/3

Вадим Могилев 23 Мая 2018, 11:22

Все намного проще Решение 1 1. Разделяем квадрат пополам 2. Вспоминаем что такое медиана и формулу площади треугольника 3. получаем розовый треугольник имеет площадь 2/3 от половины квадрата 4. Дополняем треугольник до полной площади получаем площадь розового треугольника равна 1/3 от площади квадрата Решение 2 1. Проводим линии параллельные граням через вершину розового треугольника получится 2 прямоугольника и 2 квадрата большой и маленький 2. Исходя из свойств медианы площади получившихся фигур составят Квадрат большой - 4/9 Квадрат малый - 1/9 Прямоугольники 2/9 от площади изначального квадрата 3. Грани розового треугольника делят прямоугольник и большой квадрат пополам и вместе составляют 1/9+2/9=3/9=1/3 от площади квадрата

Шлёма Идишкоссак 22 Мая 2018, 17:58

в русской планиметрии нет термина "ребро". Он есть в стереометрии. Перепишите, пожалуйста, задачу по-русски

Алекс Вин 22 Мая 2018, 00:50

Про вычисление площади треугольника через 1 сторону и 3 угла не слышали? http://www-formula.ru/2011-09-19-02-39-24/s-treugolnika-storona-2ugla

digi 20 Мая 2018, 15:52

Потому что ровно 1/3. Мое решение есть ниже.

Алекс Вин 20 Мая 2018, 13:34

Почему 0.33333...?

digi 19 Мая 2018, 16:45

А должно быть 0.3333... :)

Алекс Вин 19 Мая 2018, 11:30

Площадь квадрата (x*x). Площадь треугольника — ½*x*x*sin (45)*sin (60)/sin75 или ½*x*x*sqrt (6)/(sqrt (2)+sqrt (6)) Если принять сторону квадрата, а значит и площадь квадрата за 1, то площадь треугольника будет равна 0.316987298107781

digi 19 Мая 2018, 12:11

Если вопрос ко мне, то я ответил ниже. Это просто, см. ответ.

Юрий Гусаров 19 Мая 2018, 10:51

Как ты определил 1/12 часть? Это ж ещё более сложная задача

Игорь Уросов 19 Мая 2018, 06:34

Условие, что исходная фигура - квадрат, излишне. Всё то же будет верно для любого прямоугольника.

Михаил Кормановский 19 Мая 2018, 00:33

Пусть a - сторона квадрата. Площадь квадрата - a^2. Тогда половина стороны - a/2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами - левой стороной и половиной верхней - (a*a/2)/2 = a^2/4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами - верхней стороной и правой = a*a/2 = a^2/4. У двух этих треугольников есть общий - самый маленкий. Пусть его площадь равна x. Он подобен розовому треугольнику по двум углам (вертикальные и накрест лежащие при параллельных сторонах квадрата и секущей - стороне розового треугольника. Коэффициент подобия - 1/2, так как основание маленького - 1/2*a, розового - a. Площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, значит, x = 1/4 площади розового. Составим уравнение: a^2 = a^2/4-x+a^2/2+4x. (Вычитается площадь маленького треугольника, так как он общий для двух описанных выше треугольников). Выразим x через a^2: a^2-a^2/4-a^2/2=-x+4x. a^2/4 = 3x. x = a^2/12. Тогда площадь розового треугольника равна 4x = a^2/12*4 = a^2/3. Поэтому закрашена треть квадрата.

Кир шевченко 18 Мая 2018, 20:07

в решении автора фигня но ответ подошел:) видать не списал.... не малости

Кир шевченко 18 Мая 2018, 20:04

аа я там ошибся. кароче ровно третью часть. могу выслать фото решения ато печатать неудобно

digi 19 Мая 2018, 09:18

Элементарно. Всего лишь надо знать теорему Пифагора и следствие из теоремы Фалеса. Площадь малого треугольника составляет 1/6 площади квадрата с основанием в половину диагонали оригинального квадрата, который по площади в 2 раза больше этого квадрата. Вот и выходит 1/12.

Андрей Андреев 19 Мая 2018, 07:41

Как 1/12 вычислил?

digi 18 Мая 2018, 19:54

Все еще проще. Проведем еще одну диагональ накрест. Видно, что розовый треугольник состоит из двух треугольников. Один площадью 1/4, другой площадью 1/12. В сумме 1/3.

Кир шевченко 18 Мая 2018, 19:41

если взять длинну стороны квадрата за 2а то там получиться прощадь его 4а квадрат или 4аа . а какую часть занимает то это площадь собсно самого квадрата надо разделить на площадь розового которая составляет аа*1/3корень2...в общем нужно вычислить это- (4аа)/(аа*(1/3корень2)).. вот собсно и фсё...кругленько ниччо не скажешь

Николай Булыгин 18 Мая 2018, 19:28

а квадрат делить на три (не получается записать формулой в этой форме.)

Александр Бачило 18 Мая 2018, 18:15

В доказательстве ошибка

Zholbolat Temirlan 18 Мая 2018, 18:07

Уберите этот пост с глаз долой.

Андрей Андреев 22 Мая 2018, 05:22

+100500

Роман Медведев 20 Мая 2018, 03:10

Нет. Это не подгонка. Всё верно, только безобразно написано. Если основание единица, а по высоте квадрата два подобных треугольника с соотношением один к двум, то высота розового - 2/3 от стороны квадрата. Следовательно, площадь - 1/2 * 2/3 * 1= 1/3.