Игра в конфигурации: комментарии и советы автора

Правила выставления квадратиков теперь распространяются и на удлиненные тройки, но при этом они не должны вступать в противоречие с правилами выставления обычных троек и наоборот. Переформулируем правила выставления квадратиков следующим образом.

1. Каждый выставляемый квадратик должен образовывать с уже выставленными хотя бы один обычный ряд из трех квадратиков (в котором они касаются друг друга) или хотя бы один удлиненный (в котором они стоят через клетку). Ряды могут быть ориентированы, как и прежде, по вертикали, диагонали или диагонали.

2. Запрещается ставить квадратик, если он при этом образует с уже выставленными хотя бы один ряд более чем из трех рядом стоящих квадратиков – как обычный, так и удлиненный. Последнее правило проиллюстрировано на рис. 19.

Введение удлиненных троек резко повышает вариативность возможных конфигураций. Но при этом, как и прежде, конечные затравки порождают конечные полные конфигурации.

Полные конфигурации, полученные из простейших затравок, включая тетраду, могут содержать более сотни квадратиков. Поэтому интерес представляют, в основном, задачи, в которых по фиксированной затравке требуется найти минимальные полные конфигурации. Лишь в отдельных случаях, для специальных затравок, имеет смысл задача и по поиску максимальной полной конфигурации.

Найдите минимальную полную конфигурацию для тетрады (рис. 20).

Решение приведено на рис. 21.

Интересна также задача, состоящая в поиске минимальной затравки, порождающей данную полную конфигурацию. Пример такой задачи приведен на рис. 22.

Решение задачи приведено на рис. 23.

Аналогичная задача приведена на рис. 24.

А ее решение представлено на рис.25:

Представляют большой интерес задачи, состоящие в поиске для данной затравки кратчайшей последовательности ходов, ведущих от квадратика, считающегося начальным к другому квадратику, считающемуся конечным. Простая задача такого рода представлена на рис. 26.

На рис. 27 приведено ее решение:

Так же, как и в простейшем случае (без удлиненных троек), игру можно перенести на бесконечное поле, рассматривая полные конфигурации, полученные из бесконечных затравок. Рассмотрим в качестве такой затравки бесконечный набор тетрад, фрагмент которого изображен на рис. 28.

Один из вариантов полной конфигурации, полученной из нее, изображен на рис. 29.

Найдите ее плотность.

Для бесконечных затравок, так же, как и конечных, интересно находить минимальные, а в отдельных случаях и максимальные полные конфигурации. Например, для вышеприведенного набора тетрад минимальной полной конфигурацией, возможно, будет следующая (рис. 30):

Плотность этой конфигурации, очевидно, равна 16/49. Обратите внимание, что ее базовым элементом служит рассмотренная выше минимальная полная конфигурация для отдельной тетрады. Максимальная полная конфигурация, порождаемая данным набором тетрад, автору неизвестна.

В заключение вкратце опишем дальнейшие возможные обобщения игры в конфигурации. Во-первых, можно добавить новые допустимые удлиненные тройки, в которых квадратики (крестики) располагаются через две, три и большее число клеток. Разумеется, при этом стремительно возрастает сложность и размеры полных конфигураций. Автор предполагает, что, несмотря на это, используя конечный набор допустимых троек, из конечных затравок можно построить опять-таки лишь конечные полные конфигурации.

Во-вторых, вместо троек можно использовать четверки, пятерки и вообще ряды из n квадратиков (крестиков) – как обычные, так и удлиненные. Размеры полных конфигураций при этом, по сравнению с конфигурациями из троек, наоборот, заметно уменьшаются.

Ну и, наконец, в рамках одной игры можно допустить ряды из разного числа элементов, например, из трех и четырех. При этом полные конфигурации, построенные даже из конечных затравок, могут быть бесконечными.

Мы не будем разбирать все эти варианты. При желании читатель сам может поэкспериментировать с ними.